John
von Neumann (1903-1957) [matemático y científico húngaro,
nacionalizado estadounidense] era bien conocido por su asombrosa y
casi instantánea capacidad de cálculo. Para que el lector se haga
una idea de esta increíble capacidad de von Neumann, veamos una
anécdota relacionada con un problema matemático siguiente:
“Dos
trenes separados por 200 kilómetros se mueven el uno hacia el otro
por la misma vía. La velocidad de ambos trenes es de 50 km/h. En el
momento inicial, una mosca situada en el morro de uno de los trenes
comienza a volar hacia el otro, en viajes de ida y vuelta, a una
velocidad de 75 km/h. Lo hace repetidamente hasta que ambos trenes
chocan entre sí matando a la mosca. ¿Qué distancia ha recorrido
volando el insecto?”
Que tiene dos formas de resolverse, una sencilla y otra compleja.
La
mosca toca cada tren un número infinito de veces antes de morir
aplastada, y uno podría resolver el problema sumado la serie
infinita de distancias. Sin embargo el método simple funciona
así:
Cuando alguien le presentó este problema a John von Neumann, este respondió inmediatamente: “150 kilómetros”.
Cuando alguien le presentó este problema a John von Neumann, este respondió inmediatamente: “150 kilómetros”.
La
persona que le hizo la pregunta, asombrada, respondió: “Es muy
extraño, pero casi todo el mundo intenta resolverlo sumando la serie
infinita”.
“¿Qué quiere decir con extraño?” respondió Von Neumann. “¡Así es como yo lo he hecho!”
“¿Qué quiere decir con extraño?” respondió Von Neumann. “¡Así es como yo lo he hecho!”
En seguida presentamos un problema similar en el que se ha cambiado a los trenes por bicicletas y a la mosca por una abeja, con el objeto de evitar que el problema termine con una mosca aplastada.
LAS BICICLETAS Y LA ABEJA
Dos ciclistas viajan con velocidad uniforme de 10 km/h uno al encuentro del otro. En el instante en que se encuentran separados 20 kilómetros, una abeja vuela desde la rueda delantera de una de las bicicletas con una velocidad uniforme de 25 km/h directamente hacia la rueda de la otra bicicleta. La toca y retorna con la misma velocidad a la primera bicicleta, considerando que toca la rueda y retorna instantáneamente y repite el viaje de ida y vuelta de nuevo y de nuevo en viajes sucesivos que se hacen más cortos hasta que las bicicletas chocan y aplastan a la infortunada abeja entre las ruedas frontales. ¿Cuál es el kilometraje total de la abeja en los múltiples viajes que realiza la abeja desde el momento en que las bicicletas estuvieron separadas 20 kilómetros hasta el final?
b) 25 kilómetros
c) 50 kilómetros
d) Mas de 50 kilómetros
e) No puede resolverse con la información dada
SOLUCIÓN QUE SEGURAMENTE REALIZÓ VON NEUMANN
Distancia al primer encuentro de la bicicleta 2
La distancia recorrida por la abeja y la bicicleta 2 es D.
Con
Segundo encuentro
Distancia al encuentro de la bicicleta 1
La distancia recorrida por la abeja y la bicicleta 1 es D’.
El recorrido de la abeja y la bicicleta 2
La distancia recorrida por la abeja y la bicicleta 2 es D’’.
…………………………………….
…………………………………….
…………………………………….
Enésimo encuentro
Recorrido total
El recorrido total de la abeja es la suma de los recorridos parciales
El término entre corchetes es una serie geométrica cuya razón es
La suma de los términos de la serie cuando n es
Luego
Siendo
Tenemos
El kilometraje total de la abeja era 25 km.
SOLUCIÓN SIMPLE
La forma más simple de esta solución es considerar el tiempo implicado. Tomará al ciclista una hora para satisfacer, puesto que cada uno viaja 10 km a una velocidad de 10 km/h , así que las marcas de la abeja sus numerosos viajes hacia adelante y hacia atrás sobre una hora también.
Puesto que su velocidad es 25 km/h.
Viaja una distancia total de 25 km.
¡Una vez más el tiempo es una consideración importante en problemas de la velocidad!
